\( \sin^3 x \)의 적분

유도 및 계산

다음 적분을 구하세요:

\[ \int \sin^3 x \, dx \]

피적분 함수 \( \sin^3 x \)를 \( \sin^2 x \)와 \( \sin x \)의 곱으로 나타냅니다:

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin^2 x \sin x \, dx \]

삼각함수 항등식 \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \)를 사용하여 적분식을 다음과 같이 씁니다:

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x \, dx \]

\( (1 - \cos^2 x)\sin x \)를 전개하여 식을 분리합니다:

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \, dx - \int \cos^2 x \sin x \, dx \]

치환적분법을 사용합니다: \( u = \cos x \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = -\sin x \) 또는 \( du = -\sin x \, dx \)가 됩니다. 이를 대입하면 다음과 같습니다:

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \, dx + \int u^2 \, du \]

적분 공식을 사용하여 적분을 계산합니다:

\[ \int \sin^3 x \, dx = -\cos x + \dfrac{1}{3} u^3 + c \]

여기서 \( c \)는 적분상수입니다.

\( u = \cos x \)를 다시 대입하여 최종 정답을 구합니다: